하루에 10분씩 공부하는 AP Statistics - #43 표준오차(Standard Error)

하루에 10분씩 공부하는 AP Statistics - #43 표준오차(Standard Error)


통계량의 신뢰구간을 구하기 위해서는 통계량의 표준편차(standard deviation) 또는 표준오차(standard error)를 알아야 한다. 여기서는 표준편차와 표준오차를 구하는 방법과 이 둘이 어떤 관계인지 알아보자.


▶ 기호(Notation)

다음은 앞으로 표준편차와 표준오차를 다루면서 사용할 기호이다.

Population parameter		Sample statistic
	N: 모집단 관측값의 개수		n: 표본 관측값의 개수
	Ni: 모집단 i 의 관측값의 개수		ni: 표본 i 의 관측값의 개수
	P: 모집단의 성공 비율		p: 표본의 성공 비율
	Pi: 모집단 i의 성공 비율		pi: 표본 i의 성공 비율
	μ: 모집단 평균		x: 모집단 평균의 표본 추정값
	μi: 모집단 i의 평균		xi: μi 의 표본 추정값
	σ: 모집단 표준편차		s: σ 의 표본 추정값
	σp: p의 표준편차		SEp: p 의 표준오차
	σx: x의 표준편차		SEx: x 의 표준오차

▶ 표본 추정값의 표준편차(Standard Deviation of Sample Estimates)

표본 통계량은 모집단 모수를 추정하는데 사용되는데 이 통계량의 값은 표본마다 다르다.

통계량의 변동성은 표준편차로 측정한다. 아래 표에 나타낸 공식은 단순임의표본(simple random samples)으로 부터 통계량의 표준편차를 구하는 식이다. 이 공식들은 표본의 크기보다 모집단의 크기가 충분히 큰 경우(적어도 10배)에 성립한다.

Statistic	Standard Deviation
Sample mean, x	σx = σ / sqrt( n )
Sample proportion, p	σp = sqrt [ P(1 - P) / n ]
Difference between means, x1 - x2	σx1-x2 = sqrt [ σ21 / n1 + σ22 / n2 ]
Difference between proportions, p1 - p2	σp1-p2 = sqrt [ P1(1-P1) / n1 + P2(1-P2) / n2 ]

주) 하나 또는 그 이상의 모집단 모수를 알아야만 표본 통계량의 표준편차를 계산할 수 있다.



▶ 표본 추정값의 표준오차(Standard Error of Sample Estimates)

모집단 모수는 모르는 경우가 더 많기 때문에 통계량의 표준편차를 구할 수 없는 경우가 있다. 이러한 경우에는 표준오차(standard error)를 사용한다.

표준오차는 알려진 통계량으로부터 구하는데 표준편차에 대한 불편 추정량(unbiased estimate)이다. 아래 표는 단순임의표본에서 표준오차를 구하는 식을 나타낸 것이다. 이 식은 표본크기보다 모집단의 크기가 10배 이상인 경우를 가정한다.

Statistic	Standard Error
Sample mean, x	SEx = s / sqrt( n )
Sample proportion, p	SEp = sqrt [ p(1 - p) / n ]
Difference between means, x1 - x2	SEx1-x2 = sqrt [ s21 / n1 + s22 / n2 ]
Difference between proportions, p1 - p2	SEp1-p2 = sqrt [ p1(1-p1) / n1 + p2(1-p2) / n2 ]

표준편차는 모수를 사용하고, 표준오차는 통계량을 사용한다는 점을 제외하면 표준오차를 구하는 식은 표준편차를 구하는 식과 동일하다. 특히 표준오차는 P대신에 p , σ 대신 s 를 사용한다.



확인하고 넘어가기

Problem1

Which of the following statements is true.

I. The standard error is computed solely from sample attributes.
II. The standard deviation is computed solely from sample attributes.
III. The standard error is a measure of central tendency.

(A) I only
(B) II only
(C) III only
(D) All of the above.
(E) None of the above.

정답은 (A).
표준오차는 표본에서 얻는 정보(표본크기와 표본통계량)에서 계산할 수 있다.
표준편차는 표본만 가지고는 구할 수 없다. 하나 또는 그 이상의 모집단 모수에 대한 정보가 필요하다.
표준오차는 중심경향(central tendency)이 아닌 변동성(variability)의 척도이다.