여기에서는 평균에 대한 가설검정을 하는 방법을 알아보자. 가설검정을 하기 위해서는 먼저 다음 조건이 만족되어야 한다.
- 표집방법이 단순임의표집(simple random sampling)인 경우
- 정규분포 혹은 정규분포에 가까운 모집단에 표본을 추출한 경우
일반적으로 다음 조건 중 하나가 만족되면 표집분포는 근사적으로 정규분포를 따른다.
- 모집단이 정규 분포인 경우
- 대칭(symmetric)이고, 이상치(outlier)가 없는 일봉분포(unimodal)이며, 표본크기가 15이내인 표집분포
- 한 쪽으로 약간 치우쳤지만(skewed), 이상치가 없는 일봉분포이며, 표본크기가 16~40인 표집분포
- 이상치가 없고, 표본크기가 40보다 큰 표집분포
가설 검정은 크게 (1)가설 수립, (2)분석계획 수립, (3)표본자료의 분석, (4) 결과해석 의 4단계로 이루어진다.
▶ 가설 수립(State the Hypotheses)
검정하고자 가설은 귀무가설과 대립가설의 형태로 명시한다. 귀무가설과 대립가설은 상호 배반적이어야 한다. 즉, 하나가 참이면 다른 하나가 반드시 거짓이어야 하고, 하나가 거짓이면 다른 하나가 반드시 참이어야 한다.
아래 표는 가설의 3가지 경우를 나타낸 것이다. 각각은 모집단 평균 비율 μ 와 특정값 M 에 대한 가설을 나타낸다. (아래 표에서 ≠ 은 "같지 않다"를 의미한다.)
| Set | Null hypothesis | Alternative hypothesis | Number of tails |
| 1 | μ = M | μ ≠ M | 2 |
| 2 | μ > M | μ < M | 1 |
| 3 | μ < M | μ > M | 1 |
첫번째 가설(Set 1)은 표집분포의 양쪽의 극단값이 귀무가설을 기각시키므로 양측꼬리검정의 예이다. 나머지 두 가설(Set 2, Set 3)은 표집분포의 한쪽 극단값만이 귀무가설을 기각시키므로 단측꼬리검정에 해당한다.
▶ 분석계획 수립(Formulate an Analysis Plan)
분석계획은 귀무가설을 채택하거나 기각하기 위해 표본자료를 어떻게 이용할지 명시해야 한다.
이 과정은 다음 요소를 반드시 포함해야 한다.
- 유의수준(Significance level)
보통 유의수준은 0.01, 0.05, 0.10 을 많이 사용한다.
하지만 0과 1 사이의 어떤 값이라도 사용할 수 있다.
- 검정 방법(Test method)
단일표본 t 검정(one-sample t-test)을 이용해 가정한 평균과 관측된 표본 평균 간에 유의한 차이가 있는지 여부를 결정한다.
▶ 표본자료의 분석(Analyze Sample Data)
표본자료를 이용해 검정 통계량과 연관된 P 값을 구한다.
- 표준오차(Standard error)
표집분포의 표준오차(SE)를 구한다.SE = s * sqrt{ ( 1/n ) * ( 1 - n/N ) * [ N / ( N - 1 ) ] }
여기서 s 는 표본 표준편차, N 은 모집단 크기, n 은 표본 크기이다. 모집단 크기가 표본 크기보다 충분히 큰(적어도 10배 이상) 경우에 표준 오차는 다음 식으로 근사된다.SE = s / sqrt( n )
- 자유도(Degrees of freedom)
자유도(DF)는 표본 크기 - 1 이다. 즉, DF = n - 1.
- 검정 통계량(Test statistic)
검정 통계량인 t 점수(t)는 다음 식으로 정의된다.t = (x - μ) / SE
여기서 x 는 표본 평균, μ 는 귀무가설에서 가정한 모집단 평균, SE 는 표준오차이다.
- P 값(P-value)
P 값은 관측된 표본 통계량이 검정 통계량만큼 극단적으로 치우칠 경우의 확률이다. 검정 통계량이 t 점수이므로 위에서 계산한 자유도를 갖는 t 점수는 t 누적확률분포표나 계산기를 이용해 구한다.
▶ 결과 해석(Interpret Results)
주어진 귀무가설에 해당하는 표본이 아닐 것 같다면 귀무가설을 기각한다. P 값(P-value)과 유의수준(significance leve)을 비교해 P 값이 유의수준보다 작다면 귀무가설을 기각한다.
확인하고 넘어가기
여기서는 두 개의 예제를 통해 어떻게 평균에 대한 가설검정을 하는지 살펴보자. 첫번째는 양측꼬리검정(two-tailed test)이고 두번째는 단측꼬리검정(one-tailed test) 문제이다.
Problem 1: 양측꼬리검정(Two-Tailed Test)
An inventor has developed a new, energy-efficient lawn mower engine. He claims that the engine will run continuously for 5 hours (300 minutes) on a single gallon of regular gasoline. Suppose a simple random sample of 50 engines is tested. The engines run for an average of 295 minutes, with a standard deviation of 20 minutes. Test the null hypothesis that the mean run time is 300 minutes against the alternative hypothesis that the mean run time is not 300 minutes. Use a 0.05 level of significance. (Assume that run times for the population of engines are normally distributed.)
Problem 2: 단측꼬리검정(One-Tailed Test)
Bon Air Elementary School has 300 students. The principal of the school thinks that the average IQ of students at Bon Air is at least 110. To prove her point, she administers an IQ test to 20 randomly selected students. Among the sampled students, the average IQ is 108 with a standard deviation of 10. Based on these results, should the principal accept or reject her original hypothesis? Assume a significance level of 0.01.