하루에 10분씩 공부하는 AP Statistics - #62 카이제곱 독립성 검정(Chi-Square Test for Independence)
여기에서는 독립성에 대한 카이제곱 검정(chi-square test for independence)을 하는 방법을 알아보자. 이 검정은 한 모집단 안에 두 개의 범주형 변수(categorical variependence)e)를 가진 경우에 사용하며, 두 변수 간에 유의한 상관이 있는지 여부를 결정한다.
예를 들어, 선거 조사에서 유권자를 성별(남성, 여성)과 투표 선호도(Democrat, Republican, or Independent)에 따라 구분할 수 있다. 이 때, 카이제곱 독립성 검정을 통해 성별이 투표 선호도와 관련이 있는지 여부를 판단할 수 있다.
가설검정을 하기 위해서는 먼저 다음 조건이 만족되어야 한다.
- 표집방법이 단순임의표집인 경우
- 모집단 크기가 표본 크기보다 적어도 10배 이상인 경우
- 조사하는 변수가 범주형 변수인 경우
- 표본 자료를 분할표(contingency table)에 나타냈을 때 각 칸의 기대 빈도가 적어도 5인 경우
가설 검정은 크게 (1)가설 수립, (2)분석계획 수립, (3)표본자료의 분석, (4) 결과해석 의 4단계로 이루어진다.
▶ 가설 수립(State the Hypotheses)
변수 A 가 r 개의 수준을 갖고, 변수 B 가 c 개의 수준을 갖고 있다고 하자. 귀무가설은 변수 A 의 수준을 아는 것이 변수 B 의 수준을 예측하는데 도움이 되지 않는다 이다. 즉, 변수는 서로 독립이다 이다.
|
H0: Variable A and Variable B are independent. |
대릭가설은 변수 A 의 수준을 아는 것이 변수 B의 수준을 예측하는데 도움이 된다 이다.
주) 대립가설은 변수들이 관련이 있다는 것을 의미한다. 하지만 반드시 한 변수가 다른 변수의 원인이 되는 인과관계인 것은 아니다.
▶ 분석계획 수립(Formulate an Analysis Plan)
분석계획은 귀무가설을 채택하거나 기각하기 위해 표본자료를 어떻게 이용할지 명시해야 한다.
이 과정은 다음 요소를 반드시 포함해야 한다.
- 유의수준(Significance level)
보통 유의수준은 0.01, 0.05, 0.10 을 많이 사용한다.
하지만 0과 1 사이의 어떤 값이라도 사용할 수 있다.
- 검정 방법(Test method)
카이제곱 독립성 검정(chi-square test for independence)을 이용해 두 범주형 변수 간에 유의한 관계가 있는지 여부를 결정한다.
▶ 표본자료의 분석(Analyze Sample Data)
표본자료를 이용해 자유도, 기대 빈도, 검정 통계량 및 검정 통계량과 연관된 P 값을 구한다.
- 자유도(Degrees of freedom)
자유도(DF)는 다음 식을 이용해 구한다.
DF = (r - 1) * (c - 1)
여기서 r 은 첫번째 범주형 변수의 수준 수, c 는 두번째 범주형 변수의 수준 수 이다.
- 기대 빈도(Expected frequency counts)
두 범주형 변수의 각 수준에서 기대 빈도를 구한다. 모두 r * c 개의 기대빈도를 다음 식을 이용해 구한다.Er,c = (nr * nc) / n
여기서 Er,c 는 변수 A 의 수준 r 변수 B 의 수준 c 에서의 기대 빈도, nr 는 변수 A 의 수준 r 에서의 전체 표본 관측 수, nc 는 변수 B 의 수준 c 에서의 전체 표본 관측 수, n 은 전체 표본 크기이다.
- 검정 통계량(Test statistic)
검정 통계량인 카이제곱 확률변수(Χ2)는 다음 식으로 정의된다.
Χ2 = Σ [ (Or,c - Er,c)2 / Er,c ]
여기서 Or,c 는 변수 A 의 수준 r 변수 B 의 수준 c 에서의 관측 빈도, Er,c 는 변수 A 의 수준 r 변수 B 의 수준 c 에서의 기대 빈도 이다.
- P 값(P-value)
P 값은 관측된 표본 통계량이 검정 통계량만큼 극단적으로 치우칠 경우의 확률이다. 검정 통계량이 카이제곱(chi-square)이므로 위에서 계산한 자유도를 갖는 카이제곱 값은 카이제곱 누적확률분포표나 계산기를 이용해 구한다.
▶ 결과 해석(Interpret Results)
주어진 귀무가설에 해당하는 표본이 아닐 것 같다면 귀무가설을 기각한다. P 값(P-value)과 유의수준(significance leve)을 비교해 P 값이 유의수준보다 작다면 귀무가설을 기각한다.
확인하고 넘어가기
Problem
A public opinion poll surveyed a simple random sample of 1000 voters. Respondents were classified by gender (male or female) and by voting preference (Republican, Democrat, or Independent). Results are shown in the contigency table below.
| Voting Preferences | ||||
| Republican | Democrat | Independent | Row total | |
| Male | 200 | 150 | 50 | 400 |
| Female | 250 | 300 | 50 | 600 |
| Column total | 450 | 450 | 100 | 1000 |
Is there a gender gap? Do the men's voting preferences differ significantly from the women's preferences? Use a 0.05 level of significance.