하루에 10분씩 공부하는 AP Statistics - #4 위치 척도(measures of position)
통계학자들은 종종 한 관측값이 다른 관측값들 중에서 어느 위치에 있는지 파악하고자 한다. 가장 널리 쓰이는 것은 사분위수(quartile), 백분위수(percentile), 표준점수(standard score or Z-score) 이다.
▶ 백분위수 (Percentiles)
자료의 값들이 작은 수에서 큰 수로 정렬되어 있다고 할 때, 자료를 100개의 동등한 부분으로 나누어 주는 값들을 백분위수(percentiles)라고 한다.
백분위점수가 Pi 인 수는 자료 전체에서 i 퍼센트에 해당하는 수보다 큰 값을 가진다. 즉, 백분위점수가 50인 수는 P50 로 나타내고 전체 자료 관측값의 50%보다 크다. 따라서 백분위점수가 50인 수는 자료의 중앙값(median)에 해당한다.
▶ 사분위수 (Quartiles)
사분위수는 크기에 따라 정렬된 자료를 같은 크기의 4부분으로 나눈다. 이 때 4부분을 구분하는 수를 각각 제1사분위수, 제2사분위수, 제3사분위수라 하며 Q1, Q2, and Q3 로 나타낸다.
사분위수와 백분위수의 관계를 살펴보자. Q1 은 P25 에 해당하고, Q2 은 P50 에, Q3 은 P25 에 해당한다. Q2 은 자료의 중앙값(median)이다.
▶ 표준 점수(Standard Scores; z-Scores)
표준 점수(standard Scores; z-scores)는 주어진 관측값이 평균으로부터 표준편차의 몇 배 만큼 떨어져 있는지를 나타낸다. 표준 점수는 다음 식을 이용해 구한다.
z = (X - μ) / σ
여기서 z는 z-점수, X 는 관측값, μ 는 모집단 평균, σ 모집단 표준편차이다.
계산된 표준 점수는 다음과 같이 해석한다.
- 표준 점수가 0보다 작은 관측값은 평균보다 작다.
- 표준 점수가 0보다 큰 관측값은 평균보다 크다.
- 표준 점수가 0인 관측값은 평균과 같다.
- 표준점수가 1인 관측값은 평균보다 표준편차만큼 크다.
표준점수가 2인 관측값은 평균보다 표준편차의 2배 만큼 크다.
등등
- 표준점수가 -1인 관측값은 평균보다 표준편차만큼 크다.
표준점수가 -2인 관측값은 평균보다 표준편차의 2배 만큼 크다.
등등
- 관측한 자료의 수가 큰 경우에
전체 자료의 약 68%가 표준점수가 -1과 1사이의 값을 갖는다.
전체 자료의 약 95%가 표준점수가 -2과 2사이의 값을 갖는다.
전체 자료의 약 99%가 표준점수가 -3과 3사이의 값을 갖는다.
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Problem 1
A national achievement test is administered annually to 3rd graders. The test has a mean score of 100 and a standard deviation of 15. If Jane's z-score is 1.20, what was her score on the test?
(A) 82
(B) 88
(C) 100
(D) 112
(E) 118
Solution