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하루에 10분씩 공부하는 AP Statistics - #29 확률변수의 속성(Attributes of Random Variables)

고강사 2011. 4. 11. 00:45
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하루에 10분씩 공부하는 AP Statistics - #29 확률변수의 속성(Attributes of Random Variables)

자료에서의 변수와 마찬가지로 확률변수도 중심경향(central tendency; 즉, 평균, 중앙값)과 변동성(variability; 즉 분산, 표준편차) 척도를 통해 기술된다. 여기서는 이산 확률변수에 대해 이러한 척도를 계산하는 방법을 알아보도록 하자.


▶ 이산 확률변수의 평균(Mean of a Discrete Random Variable)

이산 확률변수 X 평균은 X의 기대값(expected value)이라고 한다. X의 기대값은 E(X)로 나타내며, 이산 확률변수의 평균은 다음 식을 이용해 구할 수 있다.

E(X) = μx = Σ [ xi * P(xi) ]

여기서 xi 는 i번째 확률변수의 값, μx 는 확률변수 X의 평균, P(xi) i번째 확률변수의 값이될 확률이다.

예제 1

최근의 한 소프트볼 게임리그에서 각 선수는 4번의 타석기회가 있었다. 각 선수들이 안타를 친 확률을 다음과 같이 확률분포로 나타내었다.

Number of hits, x 0 1 2 3 4
Probability, P(x) 0.10 0.20 0.30 0.25 0.05

What is the mean of the probability distribution?

(A) 1.00
(B) 1.75
(C) 2.00
(D) 2.25
(E) None of the above.




▶ 이산 확률변수의 중앙값(Median of a Discrete Random Variable)

이산 확률변수의 중앙값은  P(X < x)의 값이 0.5 이상이고 P(X > x)의 값이 0.5 이상이 되는 X의 값이다.

예제 1의 경우를 살펴보자. 예제 1에서 중앙값은 2이다. 왜냐하면 P(X < 2) = 0.6 이고, P(X > 2) = 0.60 이기 때문이다. 계산 과정은 다음과 같다.

P(X < 2) = P(x=0) + P(x=1) + P(x=2) = 0.10 + 0.20 + 0.30 = 0.60
P(X > 2) = P(x=2) + P(x=3) + P(x=4) = 0.30 + 0.25 + 0.05 = 0.60




▶ 이산 확률변수의 변동성(Variability of a Discrete Random Variable)

이산 확률변수의 표준편차(σ)는 이산 확률변수의 분산(σ2)에 제곱근을 취해 구한다. 이산 확률변수의 분산은 다음 식을 이용해 구할 수 있다.

σ2 = Σ [ xi - E(x) ]2 * P(xi)


여기서 xi 확률변수의 i번째 값, P(xi) 는 확률변수가 i번째 값이 될 확률, E(x)는 이산 확률변수 X의 기대값이다.

예제 2

The number of adults living in homes on a randomly selected city block is described by the following probability distribution.

Number of adults, x 1 2 3 4
Probability, P(x) 0.25 0.50 0.15 0.10

What is the standard deviation of the probability distribution?

(A) 0.50
(B) 0.62
(C) 0.79
(D) 0.89
(E) 2.10



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