AP Statistics/하루 10분 AP Stat.

하루에 10분씩 공부하는 AP Statistics - #36 표준정규분포(Standard Normal Distribution)

고강사 2011. 5. 31. 18:01
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하루에 10분씩 공부하는 AP Statistics - #36 표준정규분포(Standard Normal Distribution)


▶ 표준정규분포(Standard Normal Distribution)

표준정규분포(standard normal distribution)은 정규분포(normal distribution)에서 정규확률변수의 평균이 0이고, 표준편차가 1인 특별한 경우이다.

표준정규분포의 정규확률변수는 표준점수(standard score) 또는 z-점수(z-score)라고 부른다.
모든 정규확률변수 X는 다음 식을 이용해 z-점수로 변환할 수 있다.

z = (X - μ) / σ

X는 정규확률변수, μ는 X의 평균, σ는 X의 표준편차이다.



▶ 표준정규분포표(Standard Normal Distribution Table)

표준정규분포표(standard distribution table)은 특정 z-점수에 대한 누적확률을 나타낸 것이다. 표의 왼쪽 열에는 z-점수를 소수점 첫째자리까지 나타나 있고, 표의 첫 행에는 소수 둘째자리가 나타나 있다. 표의 각 값은 누적확률(-∞에서 z-점수까지)을 나타낸다.

아래 표준정규분포표 일부에서 z-점수가 -1.31일 때의 누적확률을 구해보자. 먼저, 왼쪽 열에서 -1.3 을 포함한 행을 찾고, 첫 행에서 0.01을 포함한 열을 찾아 두 행과 열이 만나는 곳의 값을 읽는다. 따라서, 표준정규확률변수가 -1.31보다 작을 확률은 0.0951 즉, P(Z < -1.31) = 0.0951 이다.

z 0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09
-3.0 0.0013 0.0013 0.0013 0.0012 0.0012 0.0011 0.0011 0.0011 0.0010 0.0010
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
-1.4 0.0808 0.0793 0.0778 0.0764 0.0749 0.0735 0.0722 0.0708 0.0694 0.0681
-1.3 0.0968 0.0951 0.0934 0.0918 0.0901 0.0885 0.0869 0.0853 0.0838 0.0823
-1.2 0.1151 0.1131 0.1112 0.1093 0.1075 0.1056 0.1038 0.1020 0.1003 0.0985
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
3.0 0.9987 0.9987 0.9987 0.9988 0.9988 0.9989 0.9989 0.9989 0.9990 0.9990


물론, 표준정규확률변수가 -∞에서 특정값까지의 범위에 포함될 확률이 아니라, 특정값부터 +∞ 범위에 포함될 확률을 구할 수도 있다. 또, 표준정규확률변수가 특정한 두 값 사이에 포함될 확률도 구할 수 있다. 이것은 모두 위의 표준정규분포표를 활용하여 다음과 같이 구한다.

  • P(Z > a) = 1 - P(Z < a).

    예를 들어, z-점수가 3.00보다 클 확률을 구해보자. 위의 표에서 P(Z < 3.00) = 0.9987 이므로,
    P(Z > 3.00) = 1 - P(Z < 3.00) = 1 - 0.9987 = 0.0013.

  • P(a < Z < b) = P(Z < b) - P(Z < a).

    예를 들어 z-점수가 -1.40보다 크고 -1.20보다 작을 확률을 구해보자.
    위의 표에서 P(Z < -1.20) = 0.1151 이고, P(Z < -1.40) = 0.0808이므로,
    P(-1.40 < Z < -1.20) = P(Z < -1.20) - P(Z < -1.40) = 0.1151 - 0.0808 = 0.0343.

AP Statistics 시험에서 문제를 풀기 위해 정규확률분포표를 읽고 값을 구해야 하는 경우가 있을 수 있다. 표준정규분포표는 대부분의 통계책에 부록으로 수록되어 있다.



▶ 측정 모형으로서의 정규분포(The Normal Distribution as a Model for Measurements)

실제 세상의 현상들은 종종 정규(혹은 이에 가까운)분포를 따른다. 이 사실은 실제 현상에 대한 확률을 구하기 위한 모형으로 정규분포를 사용할 수 있다는 것을 의미한다. 이 경우 다음 두 절차를 따르도록 한다.

  • 원자료(raw data)의 변환
    대부분의 원자료는 표준정규분포의 형태가 아니므로 표준정규분포로 변환하도록 한다.
    변환방법은 앞서 설명한 식을 이용한다. z = (X - μ) / σ.
  • 확률 계산
    자료를 표준정규분포로 변환하면 표준정규분포표, 계산기 등을 이용해 z-점수에 해당하는 확률을 구한다.
다음은 측정도구로서 정규분포를 어떻게 활용하는지 살펴보기 위한 확인문제이다.



확인하고 넘어가기

Problem1

Molly earned a score of 940 on a national achievement test. The mean test score was 850 with a standard deviation of 100. What proportion of students had a higher score than Molly? (Assume that test scores are normally distributed.)

(A) 0.10
(B) 0.18
(C) 0.50
(D) 0.82
(E) 0.90





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