하루에 10분씩 공부하는 AP Statistics - #41 두 평균의 차(Difference Between Means)

고강사 2011. 5. 31. 18:02

하루에 10분씩 공부하는 AP Statistics - #41 평균 차이(Difference Between Means)

▶ 평균 차이(Difference Between Means: Theory)

평균이 각각 μ₁, μ₂인 두 모집단에서 크기가 각각 n₁, n₂인 표본을 모두 추출하자. 그리고, 다음 가정이 성립한다고 하자.

각 모집단의 크기는 모집단에서 추출한 표본의 크기보다 상대적으로 크다. 즉, N₁은 n₁보다 크고, N₂는 n₂보다 크다. (이 경우 모집단의 크기는 표본의 크기보다 적어도 10배 이상인 것으로 간주한다)
표본은 서로 독립이다.
즉, 모집단 1의 관측값은 모집단 2의 관측값에 영향을 미치지 않으며, 반대 경우도 마찬가지이다.
표본 평균 차이는 정규분포를 따른다.
이 조건은 각 모집단이 정규분포이거나 표본의 크기가 큰 경우에 만족된다(중심극한정리에 의해 표본의 크기가 40보다 크면 충분하다.)

위의 가정이 성립한다면, 다음과 같은 성질을 갖는다.

모든 가능한 표본 평균 차이의 기대값(expected value)은 모집단 평균 차이와 같다.
즉, E(x₁ - x₂) = μ_d = μ₁ - μ₂
표본 평균 차이의 표준편차(σ_d)는 근사적으로 다음과 같다.

σ_d = sqrt( σ₁² / n₁ + σ₂² / n₂ )

마지막 공식을 증명해 보자. 두 독립 확률변수 차이의 분산은 각각의 분산의 합과 같다. 즉,

σ²_d = σ² _{(x₁ - x₂)} = σ² _x₁ + σ² _x₂

모집단의 크기 N₁과 N₂가 n₁과 n₂보다 상대적으로 크다면,

σ² _x₁ = σ²₁ / n₁ And σ² _x₂ = σ²₂ / n₂

따라서,

σ_d² = σ₁² / n₁ + σ₂² / n₂ And σ_d = sqrt( σ₁² / n₁ + σ₂² / n₂ )

▶ 평균 차이 예제(Difference Between Means: Sample Problem)

여기서는 위의 설명한 내용을 어떻게 적용하는지 예제를 통해 살펴보자. 앞에 다룬 내용은 두 독립 표본 평균 차이를 다루는 경우에 적용할 수 있다. 예제에서는 평균 차이를 정규분포를 이용해 모형화 했다.

예제1

For boys, the average number of absences in the first grade is 15 with a standard deviation of 7; for girls, the average number of absences is 10 with a standard deviation of 6.

In a nationwide survey, suppose 100 boys and 50 girls are sampled. What is the probability that the male sample will have at most three more days of absences than the female sample?

(A) 0.025
(B) 0.035
(C) 0.045
(D) 0.055
(E) None of the above