하루에 10분씩 공부하는 AP Statistics - #25 확률(Probability)

하루에 10분씩 공부하는 AP Statistics - #25 확률(Probability)

사건이 일어날 가능성을 사건의 확률(probability)이라고 한다.


▶ 확률의 해석(How to Interpret Probability)

수학적으로 사건의 확률은 0과 1사이의 수로 표현된다. 사건 A의 확률은 P(A)로 나타낸다.

• 만일 P(A)가 0 이면, 사건 A는 발생하지 않는다.
• P(A)가 0에 가까울수록 사건 A가 발생할 가능성이 작다. 
• P(A)가 1에 가까울수록 사건 A가 발생할 가능성이 크다
• 만일 P(A)가 1 이면, 사건 A는 항상 발생한다.

통계 실험(statistical experiment)에서 가능한 모든 사건의 확률합은 1 이다. 즉, 실험에서 가능한 사건이 A, B, C의 세 가지라면 P(A) + P(B) + P(C) = 1 이다.



▶ 발생확률이 같은 경우 확률의 계산(How to Compute Probability: Equally Likely Outcomes)

통계 실험의 가능한 결과가 n가지이고, 각 결과의 확률이 동일하다고 하자. 이 중 r가지 결과의 부분집합을 "성공(successful)" 결과라고 하자.

실험의 결과가 성공(S)일 확률은 다음과 같다.

P(S) = ( Number of successful outcomes ) / ( Total number of equally likely outcomes ) = r / n

주머니에 10개의 구슬이 있다. 구슬 두 개는 빨간색이고, 세 개는 녹색, 그리고 다섯 개는 파란색이다. 만일 주머니에서 1개의 구슬을 임의로 선택할 때 녹색 구슬을 뽑을 확률은 얼마인가?

이 실험에서 10개의 구슬이 뽑힐 확률은 모두 동일하고, 녹색 구슬의 개수가 3개이다. 따라서, 녹색 구슬을 뽑을 확률은 3/10 즉, 0.30이다.



▶ 확률의 계산 : 대수의 법칙(How to Compute Probability: Law of Large Numbers)

사건의 확률은 긴 시간 동안 발생한 사건의 빈도로 생각할 수 있다. 사건의 상대 빈도는 발생한 사건의 회수를 전체 사건 시행 회수로 나눌 수 있다.

P(A) = ( Frequency of Event A ) / ( Number of Trials )

예를 들어 어느 날 50명의 손님 중 5명이 실제로 구매했다고 하자. 다음 날은 50명 중에 20명이 실제로 구매를 했다고 하자. 두 상대빈도는 서로 다르다(5/50 or 0.10 and 20/50 or 0.40). 하지만 보다 많은 수의 손님을 대상으로 확인해 본 결과 손님이 구매할 확률이 0.20에 가까워지는 것을 알 수 있었다.

오른쪽 산점도는 시행 회수(여기서는 손님의 수)가 증가할 때 상대 빈도를 나타낸 것이다. 시행회수가 충분히 커지면 상대빈도는 0.20에 수렴하고, 이것을 상점에 방문한 손님이 구매를 할 확률로 생각할 수 있다.

사건의 상대빈도는 시행회수가 커지면 사건의 확률로 생각할 수 있는데 이것을 대수법칙(law of large numbers)라고 한다.



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Problem1

A coin is tossed three times. What is the probability that it lands on heads exactly one time?

(A) 0.125
(B) 0.250
(C) 0.333
(D) 0.375
(E) 0.500

정답은 (D).
동전을 세 번 던지면 가능한 경우의 수는 HHH, HHT, HTH, THH, HTT, THT, TTH, TTT의 8가지 이다.
이 중에 앞면이 한 번인 경우는 HTT, THT, TTH의 세 가지이다. 따라서 동전을 세 번 던져서 앞면이 한 번 나오는 확률은 3/8 즉, 0.375이다.