하루에 10분씩 공부하는 AP Statistics - #26 확률 법칙(Rules of probability)

하루에 10분씩 공부하는 AP Statistics - #26 확률 법칙(Rules of probability)

이미 알고 있는 사건의 확률을 이용해 사건의 확률을 계산해야 할 때가 있다. 이번에는 이러한 확률 계산을 위한 몇 가지 확률 법칙을 알아보자.


▶ 용어 정리

확률 법칙을 말하기에 앞서 몇 가지 정의를 살펴보자.

• 두 사건이 동시에 발생하지 않는다면, 두 사건은 서로 배반이다. 즉, 배반사건이다.
  
• 사건 B가 발생했을 때, 사건 A가 발생할 확률을 조건부 확률이라고 하고, P(A|B)로 나타낸다.
  
• 사건의 여사건은 그 사건이 발생하지 않는 것이다. 사건A가 발생하지 않을 확률은 P(A')로 나타낸다.
  
• 사건 A와 사건 B가 동시에 발생할 확률은 사건 A와 B의 교집합의 확률과 같고, P(A ∩ B)로 나타낸다.
  만일 사건 A와 B가 배반사건이면 P(A ∩ B) = 0 이다.
  
• 사건 A 또는 사건 B가 발생할 확률은 사건 A와 B의 합집합의 확률과 같고, P(A ∪ B)로 나타낸다.
  
• 사건 B의 확률에 따라 사건 A가 발생할 확률이 달라진다면, 사건 A와 사건 B는 종속사건이다.
  반면에 사건 B의 확률이 변해도 사건 A의 확률이 같다면, 사건 A와 사건 B는 독립사건이다.

▶ 차의 법칙(Rule of Subtraction)

하루에 10분씩 공부하는 AP Statistics - #25 확률(Probability) 에서 확률의 두 가지 중요한 성질을 이야기 했다.

• 사건의 확률은 0 과 1 사이이다.
• 모든 가능한 사건의 확률의 합은 1이다.

이 성질에서 확률 차의 법칙을 유도할 수 있다.

   - 차의 법칙(Rule of Subtraction)

      사건 A가 발생할 확률은 1 에서 사건 A 가 발생하지 않을 확률을 뺀 것과 같다.

P(A) = 1 - P(A')

예를 들어 Bill이 대학을 졸업할 확률이 0.80 이라고 하자. Bill이 대학을 졸업하지 못할 확률은 얼마인가? 확률의 차의 법칙을 이용해 Bill이 대학을 졸업하지 못할 확률은 1.00 - 0.80 = 0.20 이다.



▶ 곱의 법칙(Rule of Multiplication)

곱의 법칙은 두 사건의 교집합의 확률을 구하고자 할 때 사용한다. 즉, 두 사건 A와 B가 동시에 발생할 확률을 알고자 할 때 곱의 법칙을 사용한다.

   - 곱의 법칙(Rule of Multiplication)

      사건 A와 사건 B가 동시에 발생할 확률은 사건 A가 발생할 확률과 사건 A가 발생했을 때,
      사건 B가 발생할 조건부 확률을 곱한 것과 같다.

P(A ∩ B) = P(A) P(B|A)

예제
주머니에 빨간구슬 6개와 검은구슬 4개가 있다. 주머니에서 구슬 두 개를 꺼낼 때(이 때, 꺼낸 구슬은 주머니에 도로 집어 넣지 않는다), 두 구슬이 모두 검은 색일 확률은 얼마인가?

풀이 : A = 첫번째 구슬이 검은 색인 사건, B = 두번째 구슬이 검은 색인 사건 이라고 하면,
        다음의 두 확률을 구할 수 있다.

• 첫번째 구슬을 꺼낼 때, 주머니에 있는 10개의 구슬 중에 4개가 검은색 구슬이다.
  따라서, P(A) = 4/10.
• 첫번째 구슬을 꺼낸 후에 주머니에 9개에 구슬이 있고, 이 중에 3개가 검은색 구슬이다.
  따라서, P(B|A) = 3/9.

확률의 곱의 법칙에 의해 P(A ∩ B)을 다음과 같이 구할 수 있다.

P(A ∩ B) = P(A) P(B|A)
P(A ∩ B) = (4/10)*(3/9) = 12/90 = 2/15

▶ 합의 법칙(Rule of Addition)

합의 법칙은 두 사건이 있고, 둘 중 어느 사건이든 발생할 확률을 알고자 할 때 사용한다. 

   - 합의 법칙(Rule of Addition)

      사건 A 또는 사건 B가 발생할 확률은
      사건 A의 발생확률과 사건 B 발생확률의 합에서 사건 A, B가 동시에 발생할 확률을 뺀 것과 같다. 

P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B))

      주) P(A ∩ B) = P( A )P( B | A ) 인 것을 이용하면 합의 법칙은 다음과 같이 나타낼 수도 있다.

P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A)P( B | A )

예제
한 학생이 도서관에 갔다. 이 학생이 fiction을 선택할 확률은 0.40 이고, non-fiction을 선택할 확률은 0.30 이다.
fiction과 non-fiction을 동시에 선택할 확률은 0.20 이다.
이 학생이 fiction 또는 non-fiction을 선택할 확률은 얼마인가?

풀이 : F = 학생이 fiction을 선택하는 사건  N = 학생이 non-fiction을 선택하는 사건 이라고 하면,
        확률의 곱의 법칙에 의해 다음과 같이 fiction 또는 non-fiction을 선택할 확률을 구할 수 있다.

P(F ∪ N) = P(F) + P(N) - P(F ∩ N)
P(F ∪ N) = 0.40 + 0.30 - 0.20 = 0.50

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Problem1

An urn contains 6 red marbles and 4 black marbles. Two marbles are drawn with replacement from the urn. What is the probability that both of the marbles are black?

(A) 0.16
(B) 0.32
(C) 0.36
(D) 0.40
(E) 0.60

정답은 (A).

A = 첫번째 구슬이 검은색인 사건, B = 두번째 구슬이 검은색인 사건 이라고 하면,
다음 확률을 구할 수 있다.

• 처음에는 주머니에 10개의 구슬 중에 4개의 구슬이 검은색이다.
  따라서, P(A) = 4/10.
• 첫번째 구슬을 선택한 후에 구슬을 도로 주머니에 집어 넣는다.
  따라서 주머니에는 다시 10개의 구슬이 있고 4개의 구슬이 검은색이다. 즉, P(B|A) = 4/10.

확률의 곱의 법칙에 의해 다음과 같이 확률을 구할 수 있다.

P(A ∩ B) = P(A) P(B|A)
P(A ∩ B) = (4/10)*(4/10) = 16/100 = 0.16

Problem2

A card is drawn randomly from a deck of ordinary playing cards. You win $10 if the card is a spade or an ace. What is the probability that you will win the game?

(A) 1/13
(B) 13/52
(C) 4/13
(D) 17/52
(E) None of the above.

정답은 (C).
S = 카드가 스페이드인 사건, A = 카드가 에이스인 사건 이라고 하면, 다음을 생각할 수 있다. 

• 한 벌의 카드에는 52장의 카드가 있다.
• 스페이드가 13장이 있으므로 P(S) = 13/52.
• 에이스가 4장이 있으므로 P(A) = 4/52.
• 스페이드 에이스는 1 장이 있으므로 P(S ∩ A) = 1/52.

확률의 합의 법칙에 의해 다음 확률을 구할 수 있다.

P(S ∪ A) = P(S) + P(A) - P(S ∩ A)
P(S ∪ A) = 13/52 + 4/52 - 1/52 = 16/52 = 4/13