하루에 10분씩 공부하는 AP Statistics - #30 확률변수의 결합(Combinations of Random Variables)

하루에 10분씩 공부하는 AP Statistics - #30 확률변수의 결합(Combinations of Random Variables)

경우에 따라 확률변수(random variable) 간에 덧셈을 하거나 뺄셈을 해야 하는 경우가 있다. 이러한 경우에 평균과 분산을 어떻게 계산하는지 알아보자.

주) 본 글의 끝부분에 소개된 예제 문제를 풀어보기 바란다.
     몇 가지 중요한 수식이 소개되어 있을 뿐 아니라 어떻게 적용하는지 보여준다.



▶ 확률변수간 합, 차와 평균(Sums and Differences of Random Variables: Effect on the Mean)

평균이 μ_x인 변수 X와 평균이 μ_y인 변수 Y가 있다고 하자. 이 두 변수 합의 평균 μ_x+y 와
두 변수 차의 평균은 μ_x-y 는 다음 식을 이용해 구할 수 있다.

μ_x+y = μ_x + μ_y       and       μ_x-y = μ_x - μ_y

일반 변수에 대한 위의 식은 확률변수에 대해서도 적용할 수 있다. 확률변수 X, Y에 대해 다음 식이 성립한다.

E(X + Y) = E(X) + E(Y)       and       E(X - Y) = E(X) - E(Y)

E(X)는 X의 기대값(평균), E(Y)는 Y의 기대값, E(X + Y)는 X+Y의 기대값, E(X - Y)는 X-Y의 기대값이다.



▶ 확률변수의 독립성(Independence of Random Variables)

만일 두 확률변수 X, Y가 독립이라면 다음 조건을 만족한다.

• X, Y의 모든 값에 대해 P(x|y) = P(x)
• X, Y의 모든 값에 대해 P(x ∩ y) = P(x) * P(y)

사실 위의 두 조건은 동일한 것이다. 만일 한 조건이 만족된다면 다른 조건 역시 만족되고, 이 경우 X, Y는 독립(independent)이다. 만일 조건이 만족되지 않는다면 X, Y는 종속(dependent)이다.

주) 만일 X, Y 가 독립이라면 X, Y의 상관관계는 0 이다.



▶ 확률변수간 합, 차와 분산(Sums and Differences of Random Variables: Effect on Variance)

확률변수 X, Y가 서로 독립일 때, (X + Y)와 (X - Y)의 분산은 다음 식으로 구할 수 있다.

Var(X + Y) = Var(X - Y) = Var(X) + Var(Y)

Var(X + Y)는 X와 Y 합의 분산, Var(X - Y) X와 Y 차의 분산, Var(X)는 X의 분산, Var(Y)는 Y의 분산이다.

주) 표준편차(standard deviation; SD)는 분산(variance; Var)에 제곱근을 취해서 구한다. 즉,

SD(X + Y) = sqrt[ Var(X + Y) ]       and       SD(X - Y) = sqrt[ Var(X - Y) ]

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Problem1

		X
		0	1	2
Y	3	0.1	0.2	0.2
	4	0.1	0.2	0.2

The table on the right shows the joint probability distribution between two random variables - X and Y. (In a joint probability distribution table, numbers in the cells of the table represent the probability that particular values of X and Y occur together.)

What is the mean of the sum of X and Y?

(A) 1.2
(B) 3.5
(C) 4.5
(D) 4.7
(E) None of the above.

정답은 (D).
다음 세 과정을 거쳐 정답을 구하도록 한다.
(1) X의 기대값(평균) 구하기 (2) Y의 기대값 구하기 (3) 평균의 합 구하기
먼저 X의 평균을 구해보자.

E(X) = Σ [ x_i * P(x_i) ]
E(X) = 0 * (0.1 + 0.1) + 1 * (0.2 + 0.2) + 2 * (0.2 + 0.2) = 0 + 0.4 + 0.8 = 1.2

다음으로 Y의 평균을 구한다.

E(Y) = Σ [ y_i * P(y_i) ]
E(Y) = 3 * (0.1 + 0.2 + 0.2) + 4 * (0.1 + 0.2 + 0.2) = (3 * 0.5) + (4 * 0.5) = 1.5 + 2 = 3.5

마지막으로 X, Y 합의 평균은 각각의 편균의 합과 같다. 즉,

E(X + Y) = E(X) + E(Y) = 1.2 + 3.5 = 4.7

주) 두 확률변수의 차의 평균도 비슷한 방법으로 구할 수 있다.
      X - Y의 경우 E(X - Y) = E(X) - E(Y) = 1.2 - 3.5 = -2.3 이고,
      Y - X의 경우 E(Y - X) = E(Y) - E(X) = 3.5 - 1.2 = 2.3 이다.

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Problem2

The table on the left shows the joint probability distribution between two random variables - X and Y; and the table on the right shows the joint probability distribution between two random variables - A and B.

X 0 1 2 Y 3 0.1 0.2 0.2 4 0.1 0.2 0.2

A 0 1 2 B 3 0.1 0.2 0.2 4 0.2 0.2 0.1

Which of the following statements are true?

I. X and Y are independent random variables.
II. A and B are independent random variables.

(A) I only
(B) II only
(C) I and II
(D) Neither statement is true.
(E) It is not possible to answer this question, based on the information given.

정답은 (A).
먼저, 확률변수가 서로 독립인지 알아보자. 계산 과정은 다음과 같다.

만일, 확률변수 X, Y의 모든 값에 대해서 P(x|y) = P(x)이 성립하면 확률변수 X와 Y는 서로 독립이다.
확률분포표에서 다음 확률을 구할 수 있다.

P(x=0) = 0.2;      P(x=0 | y=3) = 0.2;      P(x=0 | y = 4) = 0.2
P(x=1) = 0.4;      P(x=1 | y=3) = 0.4;      P(x=1 | y = 4) = 0.4
P(x=2) = 0.4;      P(x=2 | y=3) = 0.4;      P(x=2 | y = 4) = 0.4

위의 계산 결과에서 확률변수 X와 Y는 서로 독립이다. 마찬가지로 확률변수 A와 B에 대해서도 살펴보자.

P(a=0) = 0.3;      P(a=0 | b=3) = 0.2;      P(a=0 | b = 4) = 0.4
P(a=1) = 0.4;      P(a=1 | b=3) = 0.4;      P(a=1 | b = 4) = 0.4
P(a=2) = 0.3;      P(a=2 | b=3) = 0.4;      P(a=2 | b = 4) = 0.2

여기서, 확률변수 A와 B의 모든 값에 대해서 P(a|b) = P(a) 가 성립하지는 않는다. 예를 들어 P(a=0) = 0.3 이지만, P(a=0 | b=3) = 0.2 이다. 따라서, A 와 B는 서로 독립이 아니다.

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Problem 3

Suppose X and Y are independent random variables. The variance of X is equal to 16; and the variance of Y is equal to 9. Let Z = X - Y.

What is the standard deviation of Z?

(A) 2.65
(B) 5.00
(C) 7.00
(D) 25.0
(E) It is not possible to answer this question, based on the information given.

정답은 (B).
먼저 변수 Z가 서로 독립인 두 확률변수의 합임을 알아야 한다. 이 경우에 Z의 분산은 X의 분산과 Y의 분산의 합과 같다.

Var(Z) = Var(X) + Var(Y) = 16 + 9 = 25

Z의 표준편차는 분산에 제곱근을 취해 구한다. 따라서 표준편차는 25의 제곱근을 취한 값 5 이다.