하루에 10분씩 공부하는 AP Statistics - #31 변수의 선형변환(Linear Transformations of Variables)
경우에 따라서는 확률변수를 선형변환(Linear transformation) 해야 할 필요가 있다. 선형변환을 할 때, 평균과 분산이 어떻게 바뀌는지 살펴보자.
▶ 확률변수의 선형변환(Linear Transformations of Random Variables)
선형변환(Linear transformation)은 변수에 상수를 더하거나 빼기 또는 변수에 상수를 곱하거나 나누는 절차를 하나 또는 둘 이상 수행해 변수의 특성을 변화시킨다.
확률변수를 선형변환하면 새로운 확률변수가 얻어진다. 이것을 살펴보기 위해 확률변수 X, 상수 m과 b가 있다고 가정하자. 다음은 X의 선형변환을 통해 새로운 확률변수 Y를 정의하는 예를 각각 보여준다.
- 상수를 더하기: Y = X + b
- 상수를 빼기: Y = X - b
- 상수를 곱하기: Y = mX
- 상수를 나누기: Y = X/m
- 상수를 곱하고 다른 상수를 더하기: Y = mX + b
- 상수를 나누고 다른 상수를 빼기: Y = X/m - b
이때, 변수 X를 선형변환해서 얻은 새로운 변수 Y와 변수 Z의 상관계수는 r로 동일하다.
▶ 선형변환 후의 평균과 분산(How Linear Transformations Affect the Mean and Variance)
확률변수 X를 선형변환해서 새로운 확률변수 Y를 얻었다고 하자. 새로운 확률변수 Y의 평균과 분산은 다음식을 이용해 구할 수 있다.
여기서, m과 b는 상수, Y는 Y의 평균, X는 X의 평균, Var(Y)는 Y의 분산, Var(X)는 X의 분산이다.
주) 선형변환된 변수의 표준편차(SD)는 분산에 제곱근을 취해 구한다. 즉, SD(Y) = sqrt[ Var(Y) ].
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Problem1
The average salary for an employee at Acme Corporation is $30,000 per year. This year, management awards the following bonuses to every employee.
- A Christmas bonus of $500.
- An incentive bonus equal to 10 percent of the employee's salary.
What is the mean bonus received by employees?
(A) $500
(B) $3,000
(C) $3,500
(D) None of the above.
(E) There is not enough information to answer this question.
Problem2
The average salary for an employee at Acme Corporation is $30,000 per year, with a variance of 4,000,000. This year, management awards the following bonuses to every employee.
- A Christmas bonus of $500.
- An incentive bonus equal to 10 percent of the employee's salary.
What is the standard deviation of employee bonuses?
(A) $200
(B) $3,000
(C) $40,000
(D) None of the above.
(E) There is not enough information to answer this question.