하루에 10분씩 공부하는 AP Statistics - #40 두 비율의 차(Difference Between Proportions)

하루에 10분씩 공부하는 AP Statistics - #40 두 비율의 차(Difference Between Proportions)


▶ 두 비율의 차(Difference Between Proportions: Theory)

비율이 각각 P₁, P₂ 인 두 모집단에서 크기가 각각 n₁, n₂ 인 표본을 모두 추출하자. 그리고, 다음 가정이 성립한다고 하자.

• 각 모집단의 크기는 모집단에서 추출한 표본의 크기보다 상대적으로 크다.
  즉, N₁은 n₁보다 크고, N₂는 n₂보다 크다.
  (이 경우 모집단의 크기는 표본의 크기보다 적어도 10배 이상인 것으로 간주한다)
  
  
• 각 모집단에서 추출한 표본은 비율 차이를 모형화 하는데 정규분포를 사용할 정도로 크다.
  다음 조건이 만족되면 표본의 크기는 충분히 크다.
  n₁P₁ > 10 이고 n₁(1 -P₁) > 10, 또, n₂P₂ > 10 이고 n₂(1 - P₂) > 10
  
  
• 표본은 서로 독립이다.
  즉, 모집단 1의 관측값은 모집단 2의 관측값에 영향을 미치지 않으며, 반대 경우도 마찬가지이다.
  
  

위의 가정이 성립한다면, 다음과 같은 성질을 갖는다.

• 중심극한정리(central limit therorm)에 의해 표본 비율 차이는 정규분포를 따른다. 
  
  
• 모든 가능한 표본 비율 차이의 기대값(expected value)은 모집단 비율 차이와 같다.
  즉, E(p₁ - p₂) = P₁ - P₂
  
  
• 표본 비율 차이의 표준편차(σ_d)는 근사적으로 다음과 같다.

σ_d = sqrt{ [P₁(1 - P₁) / n₁] + [P₂(1 - P₂) / n₂] }

마지막 공식을 증명해 보자. 두 독립 확률변수 차의 분산은 각각의 분산의 합과 같다. 즉,

σ²_d = σ²_{P1 - P2} = σ²₁ + σ²₂

모집단의 크기 N₁과 N₂가 n₁과 n₂보다 상대적으로 크다면,

σ²₁ = P₁(1 - P₁) / n₁       이고       σ²₂ = P₂(1 - P₂) / n₂

따라서,

σ²_d = [ P₁(1 - P₁) / n₁ ] + [ P₂(1 - P₂) / n₂ ]  이고  σ_d = sqrt{ [ P₁(1 - P₁) / n₁ ] + [ P₂(1 - P₂) / n₂ ] }

▶ 두 비율의 차 예제(Difference Between Proportions: Sample Problem)

여기서는 위의 설명한 내용을 어떻게 적용하는지 예제를 통해 살펴보자. 앞에 다룬 내용은 두 독립 표본 비율 차이를 다루는 경우에 적용할 수 있다. 예제에서는 비율 차이를  정규분포를 이용해 모형화 했다.


예제1

In one state, 52% of the voters are Republicans, and 48% are Democrats. In a second state, 47% of the voters are Republicans, and 53% are Democrats. Suppose 100 voters are surveyed from each state. Assume the survey uses simple random sampling.

What is the probability that the survey will show a greater percentage of Republican voters in the second state than in the first state?

(A) 0.04
(B) 0.05
(C) 0.24
(D) 0.71
(E) 0.76

정답은 (C).
 
먼저, P₁ = 첫번째 주에서 공화당 지지자의 비율, P₂ = 두번째 주에서 공화당 지지자의 비율 이라고 하자.
또, p₁ = 첫번째 주 표본에서의 공화당 지지자의 비율, p₂ = 두번째 주 표본에서의 공화당 지지자의 비율 이라고 하자. 첫번째 주에서 표집된 투표자의 수 (n₁) = 100 이고, 두번째 주에서 표집된 투표자의 수 (n₂) = 100 이다.

다음 4단계에 따라 문제를 풀어보자.

• 각 모집단의 표본이 충분히 커서 정규분포를 적용할 수 있는지 확인한다.
  n₁P₁ = 100 * 0.52 = 52 이고 n₁(1 - P₁) = 100 * 0.48 = 48
  n₂P₂ = 100 * 0.47 = 47 이고 n₂(1 - P₂) = 100 * 0.53 = 53
  이고 모두 10보다 크므로 표본의 크기는 충분히 크다.
  
  
• 표본 비율의 차의 평균을 구한다.
  E(p₁ - p₂) = P₁ - P₂ = 0.52 - 0.47 = 0.05
  
  
• 표본 비율의 차의 표준편차를 구한다. 
  σ_d = sqrt{ [ P₁(1 - P₁) / n₁ ] + [ P₂(1 - P₂) / n₂ ] }
  σ_d = sqrt{ [ (0.52)(0.48) / 100 ] + [ (0.47)(0.53) / 100 ] }
  σ_d = sqrt (0.002496 + 0.002491) = sqrt(0.004987) = 0.0706
  
  
• 확률을 계산한다.
  문제에서 p₁ 이 p₂ 보다 작을 확률을 구해야 한다. 이것은 p₁ - p₂ 가 0 보다 작을 확률을 구하는 것과 같다. 이 확률을 구하기 위해 확률변수 (p₁ - p₂)를 아래 변환식을 이용하여 z-점수(z-score)로 변환하도록 한다. 
  z_{p1 - p2} = (x - μ_{p1 - p2}) / σ_d = (0 - 0.05)/0.0706 = -0.7082
  
  z-점수가 0.7082 보다 작거나 같을 확률은 0.24 이다. (계산기 또는 정규확률분포표를 이용한다)

조사 결과에서 두번째 주의 공화당 지지자 비율이 첫번째 주의 공화당 지지자 비율보다 클 확률은 0.24 이다.