하루에 10분씩 공부하는 AP Statistics - #45 신뢰구간(Confidence Interval)

하루에 10분씩 공부하는 AP Statistics - #45 신뢰구간(Confidence Interval)

모집단 모수에 대한 표본추정량의 불확실성을 말하기 위해 신뢰구간(confidence interval)을 사용한다.

▶ 신뢰구간의 해석(How to Interpret Confidence Intervals)

모집단 평균이 100보다 크고 200보다 작다고 90% 신뢰도로 말할 수 있다고 하자.

어떤 사람은 모집단 평균이 100과 200사이에 있을 확률이 90%라고 생각할 수도 있지만 올바른 것은 아니다. 다른 모집단 모수처럼 모집단 평균은 확률변수가 아닌 상수이다. 따라서 변하지 않는다. 어떤 상수가 특정 범위에 들어갈 확률은 0.00 아니면 1.00 이다.

신뢰수준은 표집방법(sampling method)과 관련된 불확실성을 말하는 것이다. 만일 동일한 표집방법을 사용해 다른 표본을 선택하고 각 표본의 신뢰구간을 구한다고 가정해 보자. 이중 어떤 신뢰구간은 모집단 모수를 포함하고, 어떤 신뢰구간은 포함하지 않을 것이다. 90% 신뢰수준은 표본에서 구한 신뢰구간의 90%가 모집단 모수 참값을 포함한다는 것을 의미한다. 마찬가지로 95% 신뢰수준은 신뢰구간의 95%가 모집단 모수 참값을 포함한다는 것을 의미한다.



▶ 신뢰구간 요구정보 (Confidence Interval Data Requirements)

신뢰구간을 나타내기 위해서는 3가지 정보가 필요한다.

• 신뢰수준(confidence level)
• 통계량(statistic)
• 오차한계(margin of error)

이 정보를 이용해 신뢰구간은 통계량+오차한계(sample statistic + margin of error)로 나타낸다. 신뢰구간의 불확실성은 신뢰수준으로 정해진다.

때때로 오차한계가 주어지지 않는 경우가 있는데 이 경우 직접 계산해야 한다. 오차한계를 구하는 법은 앞에서 살펴보았다.




▶ 신뢰구간의 설정(How to Construct a Confidence Interval)

신뢰구간은 다음 4단계에 따라 설정한다.

• 표본통계량을 구한다.
  모집단 모수를 추정하는데 사용할 통계량(예: 평균, 표준편차)을 선택한다.
  
  
• 신뢰수준을 정한다.
  신뢰수준은 표집방법의 불확실성을 말한다.
  보통 90%, 95%, 99% 신뢰수준이 많이 사용되고, 다른 수준도 사용할 수 있다.
  
  
• 오차한계를 구한다.
  만일 숙제나 시험문제를 푸는 경우라면 오차한계가 주어진다. 하지만 때때로 오차한계를 직접 구해야 할 때도 있다. 이 경우 다음 식을 사용한다.

  오차 한계(margin of error) = 임계값(critical value) * 통계량의 표준편차(standard deviation of statistic)
  오차한계(margin of error) = 임계값(critical value) * 통계량의 표준오차(standard error of statistic)
  

• 신뢰구간을 정한다.
  불확실성은 신뢰수준에 의해 나타내고, 신뢰구간은 다음 식을 이용해 나타낸다.

  신뢰구간(confidence interval) = 표본 통계량(sample statistic) + 오차 한계(margin of error)

다음 확인 문제에서 위에서 설명한 4단계를 어떻게 적용하는지 살펴보도록 하자.



확인하고 넘어가기

Problem 1

Suppose we want to estimate the average weight of an adult male in Dekalb County, Georgia. We draw a random sample of 1,000 men from a population of 1,000,000 men and weigh them. We find that the average man in our sample weighs 180 pounds, and the standard deviation of the sample is 30 pounds. What is the 95% confidence interval.

(A) 180 + 1.86
(B) 180 + 3.0
(C) 180 + 5.88
(D) 180 + 30
(E) None of the above

정답은 (A).

신뢰구간을 다음 4단계에 따라 구해보자.

• 표본통계량을 구한다.
  모집단의 평균체중을 추정하기 위한 것이므로, 표본의 평균 체중(180)이 표본통계량이다.
  
  
  
• 신뢰수준을 정한다.
  신뢰수준은 문제에서 정의되어 있는 것과 같이 95% 신뢰수준으로 한다.
  
  
  
• 오차한계를 구한다.
  오차한계를 구하는 주요한 절차는 다음과 같다.
  
  
  • 표준 오차를 구한다. 평균의 표준오차(SE)는 다음과 같다.

    SE = s / sqrt( n ) = 30 / sqrt(1000) = 30/31.62 = 0.95

  • 임계값(critical value)을 구한다. 임계값은 오차한계를 계산하는데 필요한 요소이다. t 점수(t score, t*)로 임계값을 나타내기 위해 다음 절차를 따른다.
    
    
    • 알파값(α) 계산 : α = 1 - (confidence level / 100) = 0.05
    • 임계 확률(p*)의 계산 : p* = 1 - α/2 = 1 - 0.05/2 = 0.975
    • 자유도 계산 (degree of freedom; df): df = n - 1 = 1000 - 1 = 999
    • 임계값은 자유도가 999이고, 누적확률이 0.975인 t 점수이다.
      계산기 또는 t 확률분포표에서 임계값은 1.96 이다.

    주) 임계값을 z 점수(z score)로 구할 수도 있다.
         표본의 크기가 크기 때문에 z 점수를 이용해도 동일한 임계값 1.96을 얻는다.
    

  • 오차한계(margin of error; ME) 계산 :
    
    ME = critical value * standard error = 1.96 * 0.95 = 1.86
    
    
    
• 신뢰구간을 정한다.
  신뢰구간은 표본통계량 + 오차한계 로 정의되고, 불확실성은 신뢰수준으로 표시된다.
  따라서, 모집단 평균에 대한 95% 신뢰구간은 180 + 1.86 이다.